Strona aktualizowana, kolejne rozwiązania jutro.
Jak co roku, maturzyści zasiedli do pisania jednego z najważniejszych przedmiotów w ich życiu. Jak wyglądała matura podstawowa z matematyki 2026? Zobacz zadania, sprawdź odpowiedzi i rozwiązania
Matura podstawowa z matematyki - przecieki
Podobnie jak w poprzednich latach niedługo po rozpoczęciu matury w sieci, na platformie X, pojawiły się pierwsze przecieki. Ich treść budzi wątpliwości – w momencie opublikowania nie ma pewności, czy zdjęcia nie są jedynie formą prowokacji. Podobne wątpliwości pojawiły się dzień wcześniej, kiedy tuż po rozpoczęciu matury z polskiego w internecie zaczęły krążyć zdjęcia arkuszy. CKE wydało komunikat potwierdzający prawdziwość przecieków.
Biorąc pod uwagę dostęp do technologii na wyciągnięcie ręki, bez zdecydowanej reakcji odpowiednich instytucji problem będzie się wyłącznie pogłębiał.
ODPOWIEDZI I ROZWIĄZANIA
Sekcja aktualizowana na bieżąco, sukcesywnie dodaję tutaj treści i rozwiązania kolejnych zadań
Zadanie 1
Zadanie obliczeniowe wymagające zastosowania podstawowych praw działań na pierwiastkach oraz umiejętności zastosowania potęg ujemnych.
Rozwiązanie:
Zadanie 2
Żeby rozwiązać zadanie należy zastosować wzór na wartość kapitału w procencie składanym. R
Rozwiązanie:
Zadanie 3
Zadanie wymaga zastosowania podstawowych praw działań na potęgach: zamiany pierwiastka na potęgę, mnożenia potęg o takiej samej podstawie oraz potęgowania potęgi.
Rozwiązanie:
Zadanie 4
Zadanie wymaga prawidłowego zastosowania wzoru na odejmowanie logarytmów o tej samej podstawie.
Rozwiązanie:
Zadanie 5
Kolejne zadanie wymagające -stosunkowo zręcznego jak na poziom podstawowy – posługiwaniem się prawami działań na potęgach – potęgowanie potęgi, potęgowanie iloczynu – oraz rozumienia zależności między potęgą o podstawie 10 a zapisem dziesiętnym.
Rozwiązanie:
Zadanie 6
Tym razem mała odmiana – wzory skróconego mnożenia (tak! jak widać, nie da się od nich uciec). Zadanie można rozwiązać na 2 sposoby. Najłatwiej jest wpaść na podstawienie z x wyrażenia z treści zadania. To jednak niepotrzebnie wydłuża czas rozwiązania.
Sposób najlepsze polega na zredukowaniu najpierw wyrażenie x^2 + 10x + 25 do postaci (x+5)^2. Wtedy okazuje się, że jedyne co musimy zrobić to spotęgować pierwiastek z 2.
Rozwiązanie:
Zadanie 7
Aż chciałoby się powiedzieć – nareszcie coś ciekawego! Gdyby nie to, że dla tych, dla których matura podstawowa z matematyki jest wyzwaniem, jest to raczej zła wiadomość. Dowody zwykle lubią sprawiać problemy, ze względu na to, że są mniej schematyczne. Ten ma jednak pewną dodatkową trudność.
Zaczynamy standardowo – od wypisania założeń i wyciągnięcia wspólnego czynnika przed nawias.
Podejrzewam, że w tym momencie utknęła zdecydowana większość zdających. Żeby wybrnąć z tego impasu, należy rozważyć, że nasza liczba n może być zarówno parzysta (1°) jak i nieparzysta (2°).
W obu przypadkach prędzej czy później uzyskujemy za pomocą odpowiednich przekształceń iloczyn liczby 14. W tym momencie pamiętamy już tylko o odpowiednim komentarzu.
I gotowe! Dla nieznających języka starożytnych Włochów: QED to skrót z długą i szlachetną historią pochodzący od słów „Quod Erat Demonstratum”, czyli „Co było do wykazania”. Względnie można zapisać CNW lub CND (co należało wykazać/dowieść).
Oczywiście, jeśli ktoś się uprze, czarny kwadracik też jest wystarczający – w końcu chodzić na 2 nogach czy zejść z drzewa też nie każdy musi (kiedyś być może popełnię dłuższy artykuł na temat tej kwadratowej aberracji, jaka toczy polskie szkoły już od ok. 10 lat).
Zadanie 8
Całkiem proste i miłe zadanie (i piszę tak nie tylko jako nauczyciel matematyki). Chociaż ponownie – nie pozbawione w tym roku pewnej dodatkowej trudności.
Podstawą zadania jest zauważenie, że jeśli mamy dany iloczyn 3 wyrażeń i wiemy, że jego wartość wynosi 0, to wartość każdego z tych wyrażeń również należy przyrównać do zera. Pewnym „ponadprogramowym” utrudnieniem jest dodanie parametru m, co wymaga rozwiązania dodatkowego równania.
Rozwiązanie:
Zadanie 9
Kolejne sympatyczne zadanie i kolejne ważne, matematyczne słowo: PROPORCJA.
Jaka jest – każdy widzi. A rozwiązujemy ją mnożąc „na krzyż”. Teoretycznie, każdemu uczniowi powinna być znana już od późnej podstawówki. Uwaga! Pamiętamy o założeniach!
Rozwiązanie:
Zadanie 10
Nierówność kwadratowa. Absolutny klasyk klasyków. Pewniak większy niż to, że na polskim będzie „Lalka”. Nie opanować nierówności kwadratowej przed maturą podstawową z matematyki to jak napisać podanie o sierpień. Uwaga: Dwa raz sprawdzamy czy daliśmy odpowiednie nawiasy! Przy czym, przy „nieskończonościach” (a właściwie lemniskatach – tak nazywa się ten znak) nawiasy zawsze są „łagodne”.
Rozwiązanie:
Zadanie 11
Zadanie tekstowe prowadzące do układu równań liniowych. Rozwiązanie można sprowadzić do 3 etapów: interpretacja, ułożenie równań i ich rozwiązanie. Wybrałem metodę przeciwnych współczynników, ale metoda podstawiania również się sprawdzi.
Rozwiązanie:
Zadanie 12.1
1. Odczytując rozwiązania równania warto wspomóc się pracą z wykresem wykresem. Rysujemy prostą o równaniu y=3 i znajdujemy jej punkt przecięcia z wykresem. Tu x=1. Oto nasze rozwiązanie.
Uwaga! Zadanie zawiera pułapkę! W x=2 mamy „otwartą kropkę”, co oznacza, że ten x nie może być rozwiązaniem.
2. Kolejne zadanie – pułapka. Poprawne rozwiązanie wymaga zauważenia, że punkt (opisany przeze mnie na rysunku jako fmax) również należy do przedziału [2,3]. Jeśli się to zauważy, oczywiste, że największa wartość w tym przedziale wynosi 4.
Gorzej, że o przeoczenie nietrudno.
Ostatecznie odpowiedzi prezentują się następująco:
Zadanie 12.2
1. Zbiór wartości odczytujemy z wykresu.
2. Tu mamy do czynienia z prostym równaniem. Ponownie, podobnie jak w zadaniu 12.1 można wspomóc się rysując prostą. Tym razem o równaniu y=1. Następnie zaznaczamy te części wykresu, które leżą powyżej niej.
Uwaga!
– rozwiązanie podajemy po iksach,
– ponieważ szukamy wartości >1, punkty wspólne wykresy i naszej pomocniczej prostej, oznaczamy „otwartymi kropkami” – dlatego nawiasy będą „łagodne”.
Prawidłowe odpowiedzi wyglądają następująco:
Zadanie 13.1
Całość sprowadza się do zrozumienia znaczenia stałych we wzorze funkcji liniowej y=ax+b.
1. Stała a – współczynnik kierunkowy – odpowiada za kąt nachylenia prostej do wykresu. Albo jeszcze prościej – za to czy funkcja „rośnie” (jest rosnąca) czy „maleje” (jest malejąca). Nasza funkcja „maleje” więc a jest ujemne. F.
2. Stała b odpowiada za punkt przecięcia z osią 0Y. Tutaj wypada on poniżej zera, więc b jest ujemne. F.
Rozwiązanie:
Zadanie 13.2
To zadanie można rozwiązać na kilka sposobów. Osobiście wybieram najbardziej uniwersalny. W tym celu wybieramy na wykresie dowolne dwa punkty o współrzędnych całkowitych (patrz ilustracja obok) i odczytujemy ich współrzędne: (-4;3) oraz (0;-3).
Teraz pozostaje podstawienie do wzoru funkcji liniowej (patrz zadanie 13.1), rozwiązanie prostego układu równań i wykorzystanie informacji, że a=tgα:
I gotowe!
Zadanie 14
Zadanie wymagające biegłego posługiwania się kompleksową wiedzą o funkcji kwadratowej. To coś, czego należało się spodziewać – w najnowszej formule takie zadanie jest elementem, bez którego nie może obyć się żadna matura podstawowa z matematyki. Ponownie nie odbyło się bez dodatkowej trudności – informacje, które mamy podane dotyczą zarówno funkcji f(x) jak i funkcji g(x), która stanowi obraz tej pierwszej.
- Dlatego rozwiązanie zaczynamy od odczytu wektora przesunięcia – tak, aby z f(x) uzyskać f(x+1).
2. Na tym etapie warto naszkicować wykres funkcji g(x). Co prawda nie jest to konieczne, ale zdecydowanie ułatwia interpretację – a co za tym idzie – rozwiązanie zadania.
3. Mamy wierzchołek funkcji g(x) o współrzędnych (2;-2). Dlatego sięgamy po wzór funkcji w postaci kanonicznej. Po podstawieniu p i q wierzchołka, widzimy, że brakuje nam stałej a. Na szczęście mamy dany punkt (0;0). Podstawiamy jego współrzędne do naszego wzoru. Po kilku przekształceniach uzyskujemy kompletny wzór w postaci kanonicznej.
4. Ale to jeszcze nie koniec!
Musimy wyznaczyć wzór funkcji w postaci kanonicznej, co uzyskujemy wykonując wzór skróconego mnożenia.
Gotowe! Całość rozwiązania przedstawia się następująco:
Zadanie 15
Jak na zadanie za 3 punkty jest to naprawdę przyjemne zadanie, które wymaga zastosowania wzoru w podanego zadaniu oraz wzoru na zależność między 3-ma kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego (a który jest w tablicach).
1. Zaczynamy od wyznaczenia a1, a9 i ak, podstawiając do wzoru na an:
2. Następnie stosujemy wspomniany wyżej wzór – zależność między 3-ma kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
I tyle. Całość rozwiązania przedstawia się następująco:
Zadanie 16
Kolejne zadanie z ciągów, tym razem ciąg arytmetyczny. To zadanie można rozwiązać na co najmniej 2 sposoby. Wybieram ten najbardziej uniwersalny – przez zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.
Rozwiązanie:
Zadanie 17
Po raz kolejny ciągi i po raz kolejny stosujemy wzór na n-ty wyraz ciągu – tym razem geometrycznego. Osobiście podobało mi się to zadanko. Większość zadań wymaga od nas wyznaczenia konkretnych wartości, natomiast tutaj całość sprowadza się do rodzaju sztuczki – uzyskujemy rozwiązanie, chociaż nie wyliczyliśmy ani a1 ani q.
Rozwiązanie:
Zadanie 18
Kolejne podchwytliwe zadanie. Tegoroczna matura podstawowa z matematyki ma takich pułapek całkiem sporo. Przy odrobinie nieuwagi (albo przemęczenia i stresu) nietrudno o błąd. A teraz do rzeczy:
Pozornie może wydawać się, że całość sprowadza się do zastosowania wzoru na sinus kąta – zapisujemy wzór (albo wyciągamy tablice matematyczne), podstawiamy i po sprawie. No nie do końca. Działając schematycznie, nietrudno z rozpędu wyliczyć sinus kąta α (zgodnie z rysunkiem w tablicach). Podczas gdy potrzebujemy sinus kąta γ – tego przy wierzchołku C. A w tym celu najpierw musimy najpierw zastosować twierdzenie Pitagorasa.
Rozwiązanie:
Zadanie 19
Następny z klasyków – zależność między kątem wpisanym i środkowym opartym na tym samym łuku. W tym roku w wyjątkowo prostym wydaniu (i ponownie, piszę to nie z perspektywy nauczyciela matematyki). Żeby poprawnie rozwiązać zadanie, należy zauważyć, że miara kąta środkowego AOC jest dwa razy większa od kąta ADC.
Rozwiązanie:
Zadanie 20
Twierdzenie Talesa w bardzo podstawowym wydaniu. Żeby znaleźć długość odcinka OD układamy i rozwiązujemy odpowiednią proporcję.
Rozwiązanie:
Zadanie 21
Dowód geometryczny. Coś za czym większość uczniów nie przepada. Nie jest to najcięższy ze wszystkich dowodów, jednak wymaga zastosowania twierdzenia o dwusiecznej, które samo w sobie nie jest skomplikowane – a przy tym jest w tablicach. Jednak, jak to często bywa z tablicami: żeby wiedzieć, że to twierdzenie tam jest, trzeba je wcześniej poznać i zapamiętać.
Przejdźmy do rozwiązania:
1. Zaczynamy od pracy z rysunkiem. Potrzebujemy pól trójkątów KMN i LMN, więc oznaczamy ich podstawy, odpowiednio jako x i y.
Następnie rysujemy ich wysokość h. Zauważamy, że jest ona wspólna dla wszystkich trzech trójkątów.
2. Stosunek pola KMN do LMN zapisujemy jako ułamek. Następnie podstawiamy pod każde z pól jego wzór. Korzystamy z najbardziej podstawowego wzoru na pole. Po skróceniu zostaje nam ułamek x/y.
3. Korzystamy ze wspomnianego już twierdzenia o dwusiecznej…
4. …i rozwiązujemy proporcję (jak widać matura podstawowa z matematyki kocha to słowo), z której wyznaczamy wartość wyrażenia x/y.
5. Na koniec nie pozostaje nam nic innego jak podstawić uzyskany przez nas wynik do naszego wzoru na stosunek pól trójkątów.
I gotowe! Dowód zakończony.
Całość rozwiązania przedstawia się następująco:
Zadanie 22
Całość zadania sprowadza się do znajomości zależności między wysokością trójkąta równobocznego a promieniem okręgu OPISANEGO na trójkącie równobocznym oraz wzoru na wysokość trójkąta równobocznego w zależności od długości jego boku.
Rozwiązanie:
Zadanie 23
Rozwiązanie:
Zadanie 24.1
Zadanie sprawdza podstawowe umiejętności z zakresu posługiwania się układem współrzędnych.
Zauważamy, że pierwsza współrzędna punktu A i punktu C jest taka sama.
To dla nas wskazówka, że warto narysować mały układ współrzędnych a w nim – nasz trójkąt ABC. Następnie zauważamy, że wygodnie nam będzie potraktować bok AC jako podstawę, na którą z wierzchołka C opuszczamy wysokość. Długości obu odcinków możemy wtedy odczytać po kratkach.
Prawie gotowe: Obliczone długości podstawiamy do wzoru na pole trójkąta. Koniec zadania, kolejny punkt do koszyka.
Całość rozwiązania:
Zadanie 24.2
Kluczem do rozwiązania zadania jest wiedza, że środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży na środku przeciwprostokątnej. Jeśli o tym pamiętamy, to jedyne co musimy zrobić, to podstawić współrzędne punktów A i C do wzoru na współrzędne środka odcinka.
Rozwiązanie:
Zadanie 25
Tym razem bez niespodzianek. Mamy podany zarówno środek jak i promień okręgu, więc zaczynamy od zapisania jego równania (w postaci kanonicznej). Następnie podstawiamy współrzędne punktu A, żeby sprawdzić czy punkt należy do okręgu.
Rozwiązanie:
Zadanie 26
Korzystamy z warunku na równoległość 2 prostych danych równaniem kierunkowym: a1=a2. Następnie zapisujemy częściowo uzupełnione równanie prostej l, podstawiamy do niego współrzędne punktu (2;-2) i wyznaczamy b. Gotowe – stała b w równaniu kierunkowym prostej odpowiada za punkt przecięcia wykresu z osią 0y.
Rozwiązanie:
Zadanie 27
Dowód geometryczny. Coś za czym większość uczniów nie przepada. Nie jest to najcięższy ze wszystkich dowodów, jednak wymaga zastosowania twierdzenia o dwusiecznej, które samo w sobie nie jest skomplikowane – a przy tym jest w tablicach. Jednak, jak to często bywa z tablicami: żeby wiedzieć, że to twierdzenie tam jest, trzeba je wcześniej poznać i zapamiętać.
Przejdźmy do rozwiązania:
1. Zaczynamy od pracy z rysunkiem. Potrzebujemy pól trójkątów KMN i LMN, więc oznaczamy ich podstawy, odpowiednio jako x i y.
Następnie rysujemy ich wysokość h. Zauważamy, że jest ona wspólna dla wszystkich trzech trójkątów.
2. Stosunek pola KMN do LMN zapisujemy jako ułamek. Następnie podstawiamy pod każde z pól jego wzór. Korzystamy z najbardziej podstawowego wzoru na pole. Po skróceniu zostaje nam ułamek x/y.
3. Korzystamy ze wspomnianego już twierdzenia o dwusiecznej…
4. …i rozwiązujemy proporcję (jak widać matura podstawowa z matematyki kocha to słowo), z której wyznaczamy wartość wyrażenia x/y.
5. Na koniec nie pozostaje nam nic innego jak podstawić uzyskany przez nas wynik do naszego wzoru na stosunek pól trójkątów.
I gotowe! Dowód zakończony.
Całość rozwiązania przedstawia się następująco: